机动车停放服务收费的管理涉及多个部门，具体如下：
负责制定实行政府定价和政府指导价停车场的停车收费标准。
负责市区停车服务经营企业的资格和停车场合法性确认。
负责全市范围内停车区域划分、道路临时停车泊位规划设置。
负责对停车服务收费的监督检查，依法查处不执行政府定价政策、不执行明码标价规定，在标价之外收取费用等违法违规行为。
负责全市停车场建设规划以及对公共空间进行停车位设置的规划管理和权属界定工作。
此外，根据《中华人民共和国价格法》等相关法律法规，机动车停放服务收费还实行市场调节价、政府指导价、政府定价三种定价形式，并由县级以上地方人民政府价格主管部门负责具体管理工作。
因此，停车费收费的管理涉及市发展和改革委员会、市城市管理局、市公安交警部门、市市场监督管理局、市规划和自然资源局等多个部门，各部门按照各自职能履行相应职责，配合做好机动车停放管理和服务收费的相关工作。